ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108086
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Известно, что  AC = 1,   BC = 3.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?


Подсказка

Пусть O – центр данного квадрата. Докажите, что CO – биссектриса угла C.


Решение 1

Пусть O – центр данного квадрата. Точки C и O лежат на окружности с диаметром AB (рис. слева). Из равенства хорд AO и BO следует равенство вписанных углов ACO и BCO, поэтому луч CO – биссектриса угла C. Значит, прямая CO делит сторону AB квадрата на отрезки, отношение которых равно отношению сторон AC и BC треугольника ABC, то есть  1 : 3.  Поскольку эта прямая проходит через центр квадрата, то она делит противоположную сторону DE в том же отношении.

               


Решение 2

Приложим к квадрату еще три треугольника, равных ABC (рис. справа). Ясно, что образуется квадрат размера 4×4. Так как картинка, очевидно, симметрична относительно центра этого квадрата, а биссектриса угла C совпадает с диагональю CF, то она делит отрезок DE в том же отношении, что и гипотенузу AB, то есть в отношении AC : BC.


Ответ

1 : 3.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 4, 10-11 кл. – 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4366
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .