ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108088
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.


Решение

  Пусть O – центр вписанной окружности, K, L – точки ее касания со сторонами AD и BC. Напомним, что  SDCM = SABM  (см. зад. 56764).

  Способ 1. Пусть AD = a,  BC = b  – основания, h – высота трапеции.

            (это верно в любой трапеции).

  CO и DO – биссектрисы углов C и D, поэтому  ∠KDO + ∠LCO = 90°.  Следовательно, прямоугольные треугольники KDO и LMO подобны, значит,  KD·LC = r².  Отсюда

     

  Способ 2. В силу известного свойства описанного четырёхугольника (см. зад. 57022) отрезок KL (соединяющий противоположные точки касания) проходит через точку M. Точка O также лежит на этом отрезке. Поэтому  SDCM = SABM = SABO = r².


Ответ

r².

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4368
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .