ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108097
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке одного радиуса, треугольник – равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника – диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?


Решение



Наложим одного головастика на другого (рис.2). Нетрудно проверить, что если отрезать от первого головастика заштрихованные сегменты и повернуть их вокруг точек A1 и B1 на 180o , то получится второй головастик. Значит, головастики имеют одинаковую площадь.

Пусть площадь круга равна S , а площадь равностороннего треугольника со стороной, равной диаметру окружности, равна T . Углы равностороннего треугольника O1O2O3 равны 60o (рис.3); кроме того, его стороны равны диаметрам исходной окружности. Значит, его площадь также равна T . Площадь каждого из заштрихованных секторов равна шестой части площади круга, т.е. , а площадь закрашенной части равна

T - 3· = T - .

Поэтому площадь второго головастика равна
S+T - = T+,

т.е. равна площади первого головастика.


Ответ

Площади равны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6217

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .