ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108115
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана окружность с диаметром AB. Другая окружность с центром в точке A пересекает отрезок AB в точке C, причём  AC < ½ AB.  Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке D. Докажите, что прямая CD перпендикулярна AB.


Подсказка

Пусть E – точка касания второй окружности с общей касательной. Докажите равенство треугольников AED и ACD.


Решение

Пусть O – центр первой окружности, E – точка касания второй окружности с общей касательной. Треугольник AOD – равнобедренный, поэтому
DAO = ∠ADO,  а так как  AE || OD  (радиусы, проведённые в точку касания), то  ∠EAD = ∠ADO = ∠DAO.  Треугольники AED и ACD равны по двум сторонам и углу между ними, значит,  ∠ACD = ∠AED = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6465
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .