ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108117
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Жгун В.С.

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и D соответственно. Отрезок DE пересекает стороны AB и BC в точках F и G . Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Докажите, что четырёхугольник BFIG – ромб.

Решение

Из теоремы о вписанных углах и условия задачи следует, что

BED = BCD = ACD = AED,

поэтому при симметрии относительно прямой DE прямая BE переходит в прямую AE . Аналогично докажем что при этой симметрии прямая BD переходит в прямую DC . Значит, точка B пересечения прямых BE и BD переходит в точку I пересечения прямых AE и DC . Поэтому прямая FG проходит через середину диагонали BI четырёхугольника BFIG и перпендикулярна ей. Кроме того, BI – биссектриса угла FBG , значит, BFIG – ромб.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6467
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .