ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108118
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?


Решение

  Пусть площади треугольников равны n,  n + 1,  n + 2  и  n + 3.  Тогда  SABCD = 4n + 6.  EF – средняя линия треугольника BCD, поэтому  SBCD = 4SECF ≥ 4n.  Следовательно,  SABD = SABCD – SBCD ≤ 6.
  Покажем, что эта площадь может равняться 6. Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями  AD = 6,  BC = 4  и высотой 2. Тогда
SCFЕ = 1,  SABE = 2,  SADF = 3,  SAEF = SABCD – 1 – 2 – 3 = 4,  и при этом  SABD = 6.


Ответ

6.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6468
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 65
Год 2002
вариант
Класс 10
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .