Задача 108118

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Шестаков С.А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

Решение

Автор: Шестаков С.А.

  Пусть площади треугольников равны n,  n + 1,  n + 2  и  n + 3.  Тогда  S_ABCD = 4n + 6.  EF – средняя линия треугольника BCD, поэтому  S_BCD = 4S_ECF ≥ 4n.  Следовательно,  S_ABD = S_ABCD – S_BCD ≤ 6.
  Покажем, что эта площадь может равняться 6. Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями  AD = 6,  BC = 4  и высотой 2. Тогда
S_CFЕ = 1,  S_ABE = 2,  S_ADF = 3,  S_AEF = S_ABCD – 1 – 2 – 3 = 4,  и при этом  S_ABD = 6.

Ответ

6.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6468
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	65
Год	2002
вариант
Класс	10
задача
Номер	3