ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108128
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA, BHB и CHC.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AHBHC, BHAHC и CHAHB равен треугольнику HAHBHC.


Подсказка

Докажите, что ортоцентры треугольников AHBHC, BHAHC, CHAHB и ABC – вершины параллелограмма.


Решение

Пусть PA, PB, PC и H – ортоцентры треугольников AHBHC, BHAHC, CHAHB и ABC соответственно. Поскольку  HBPC || HHA  и  HAPC || HHB,  то четырёхугольник HAPCHBH – параллелограмм. Аналогично HCPAHBH – параллелограмм. Значит,  HAPC = HHB = HCPA,  HAPC || HHB || HCPA.  Поэтому и HAPCPAHC – параллелограмм. Следовательно,  PAPC = HAHC.  Аналогично PBPC = HBHC  и  PAPB = HAHB,  и треугольники PAPBPC и HAHBHC равны по трём сторонам.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 7, 10-11 кл. – 5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6478
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2000/2001
Номер 22
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 6
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2000/2001
Номер 22
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 64
Год 2001
вариант
Класс 10
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .