Задача 108134

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD – вписанный, K – середина той дуги AD , где нет других вершин четырёхугольника. Пусть X и Y – точки пересечения прямых BK и CK с диагоналями. Докажите, что прямая XY параллельна AD.

Решение

Поскольку K – середина дуги AD, то  ∠XBY = ∠KBD = ∠ACK = ∠XCY,  то есть из точек B и C, лежащих по одну сторону от прямой XY, отрезок XY виден под одним и тем же углом. Значит, точки X, Y, B и C лежат на одной окружности. Поэтому  ∠XYB = ∠XCB = ∠ACB = ∠ADB.  Следовательно,  XY || AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6484