|
|
 |
Условие
На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O1, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O2, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если O1A = O2A, то треугольник ABC равнобедренный.
Подсказка
Докажите, что ∠AO1O2 = ½ ∠ABC и ∠AO2O1 = ½ ∠ACB.
Решение
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то точки O, O1 и O2 лежат на
одной прямой. Пусть углы при вершинах O и A треугольника OAB равны соответственно α и β. Тогда ∠
AO1O2 = ∠AOO1 + ∠OAO1 = α/2 + β/2 = ½ (∠AOB + ∠OAB) = ½ ∠ABC.
Пусть угол при вершине A треугольника OAC равен γ, а окружность с центром O2 касается луча OA в точке D. Тогда
∠AO2O1 = ∠DAO2 – ∠AOO2 = ½ (180° – γ) – α/2 = ½ (180° – γ – α) = ½ ∠ACO = ½ ACB.
По условию ∠AO1O2 = ∠AO2O1, значит, ∠ABC = ∠ACB. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.
