ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108136
Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  2∠MON = ∠AOC.  Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. При повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в A, точка M переходит в некоторую точку K, а при повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в C, точка N переходит в некоторую точку L. При этом треугольник AOK равен треугольнику BOM, а треугольник COL – треугольнику BON. Поскольку  OK = OM,  OL = ON  и  ∠KOL = AOC – (∠AOK + ∠LOC) = ∠AOC – ∠MON = ∠MON,  то треугольники KOL и MON равны. Поэтому  KL = MN.  Следовательно,  PMBN = BM + MN + NB = AK + KL + LC ≥ AC.
  Остальные случаи рассматриваются аналогично.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6486
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 02.5.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .