ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108151
Темы:    [ Угол между касательной и хордой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Окружность, проходящая через точки A, O, B касается прямой BC.
Докажите, что окружность, проходящая через точки B, O, C, касается прямой CD.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Примените теорему об угле между касательной и хордой, а затем обратную теорему.


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

Из теоремы об угле между касательной хордой следует, что  ∠CBO = ∠BAO = ∠BAC = ∠ACD = ∠OCD.  По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, CD – касательная к окружности, проходящей через точки B, O, C.


Решение 2

По теореме о секущей и касательной  CB² = CA·CO = ½ CA².  Из того, что в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, отсюда легко выводится равенство  DC² = ½ DB² = DB·DO.  Таким образом, произведение секущей DB на ее внешнюю часть DO равно квадрату отрезка DC. По той же теореме этот отрезок является касательной.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6501
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2
журнал
Название "Квант"
год
Год 1999
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М1677
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 1999
вариант
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .