ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108153
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Площади криволинейных фигур ]
[ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

Решение

а) Достаточно провести прямую через середину дуги и середину ломаной BAD . б) Пусть A – вершина угла BAD , B и D – концы дуги, C – её середина. Сегменты, опирающиеся на хорды BC и CD равны. Поэтому достаточно провести через точку C прямую, которая делит пополам площадь четырёхугольника ABCD . Проведём через середину M диагонали BD прямую l , параллельную AC . Пусть она пересекает сторону AB в точке E (случай пересечения прямой l с со стороной AD рассматривается аналогично). Точки B и D равноудалены от прямой l . Обозначим через а – их расстояния до прямой l , а через b – расстояние между параллельными прямыми AC и l . Тогда

SADCE = SΔ ACD + SΔ ACE = AC(a-b) + AC· b= AC· a,


SΔ BCE = SΔ ACB - SΔ ACE = AC(a+b) - AC· b = AC· a = SADCE,

что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6503
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 1999
вариант
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .