ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108162
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A1, B1 и C1, причём медианы A1A2, B1B2 и C1C2 треугольника A1B1C1 соответственно параллельны прямым AB, BC и CA. В каком отношении точки A1, B1 и C1 делят стороны треугольника ABC?


Решение

Пусть O – точка пересечения медиан треугольника A1B1C1. Продолжим медианы A1A2, B1B2 и C1C2 до пересечения с отрезками AC, AB и BC в точках P, Q и R соответственно. Поскольку отрезок OA2 проходит через середину A2 отрезка B1C1 и  OA2 || C1Q,  то OA2 – средняя линия треугольника B1C1Q. Поэтому O – середина B1Q. Аналогично O – середина отрезков A1P и C1R. Значит, A1C1PR – параллелограмм. Поэтому  C1P = A1R  и  C1P || BC.  Но тогда CRC1P и BA1PC1 – также параллелограммы (противоположные стороны этих четырёхугольников попарно параллельны). Значит,  BA1 = C1P,  CR = C1P.  Следовательно,  BA1 = A1R = CR  и  BA1 : B1A = 1 : 2.  Аналогично  CB1 : B1A = AC1 : C1B = 1 : 2.


Ответ

BA1 : A1C = CB1 : B1A = AC1 : C1B = 1 : 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6509
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 99.4.8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .