ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108176
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Покрытия ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.

Решение

Пусть KC – квадрат, построенный на стороне AB треугольника ABC как на диагонали. Аналогично определяются квадраты KA и KB . Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Поскольку BAC < 90o и ABC < 90o , то BAO < 45o и ABO < 45o . Значит, все точки треугольника AOB лежат внутри квадрата KC , т.е. треугольник AOB покрывается квадратом KC . Аналогично, треугольники BOC и AOC покрываются квадратами KA и KB соответственно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6523
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 97.4.8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .