ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108185
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки E и F (точка E ближе к точке B , чем точка F ). Известно, что BAE = CDF и EAF = FDE . Докажите, что FAC = EDB .

Решение

Поскольку EAF = FDE , то из точек A и D , лежащих по одну сторону от прямой EF , отрезок EF виден под одним и тем же углом. Значит, точки A , D , E и F лежат на одной окружности. Поэтому AEF + ADF = 180o . Поскольку AEF – внешний угол треугольника ABE , то

ABE = AEF - BAE = (180o- ADF) - CDF =


=180o-( ADF + CDF) = 180o- ADC.

Значит, четырёхугольник ABCD – вписанный. Поэтому BAC = BDC . Следовательно,
FAC = BAC - BAE - EAF = BDC - CDF - FDE = EDB,

что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 96.5.10.1
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6532

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .