Задача 108186

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Сонкин М.

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) проведена биссектриса CD . Прямая, перпендикулярная CD и проходящая через центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает BC в точке E . Прямая, проходящая через точку E параллельно CD , пересекает AB в точке F . Докажите, что BE=FD .

Решение

Заметим, что для равностороннего треугольника утверждение очевидно. Пусть биссектриса CD пересекает высоту BM треугольника ABC в точке K отличной от центра O описанной окружности треугольника ABC . Рассмотрим случай, когда точка O лежит на отрезке BK . Положим BCA = BAC = 2α . Пусть прямая OE пересекает биссектрису CD в точке P . Тогда

ECK= MCK = α, CKM = 90^o-α,

BOE = KOP = 90^o- OKP = 90^o- CKM = α = ECK.
Значит, ECK + EOK = 180^o . Поэтому точки C , E , O и K лежат на одной окружности. Вписанные углы OKE и OCE этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, а т.к. ABM = CBM = 90^o-2α и треугольник BOC равнобедренный, то
OKE = OCE = OCB = CBO = OBA.
Значит, прямые EK и AB параллельны. Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника EFDK попарно параллельны. Поэтому EFDK – параллелограмм. Следовательно, DF=EK , а т.к. KBE = BKE , то BE=EK=DF , что и требовалось доказать. Аналогично для случая, когда точка O лежит вне отрезка BK .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6533
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	96.5.11.6