ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108188
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AA1 – медиана, AA2 – биссектриса, K – такая точка на AA1 , для которой KA2 || AC . Докажите, что AA2 KC .
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Обозначим векторы и через и соответственно, а их модули – через b и c . Тогда

= (+ ).

По свойству биссектрисы треугольника
= = ,

поэтому
= + .

Поскольку KA2 || AC , то
= = AK=· AA1,

а т.к. векторы и сонаправлены, то
= = ((+ ))= + .

Тогда
= += -++ = - .

Значит,
· = (+) ( - )=


=()2· b2 - ()2· c2 =0.

Следовательно, AA2 KC .


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6535
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 58
Год 1995
вариант
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .