ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108191
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Точка Лемуана ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.


Решение 1

  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке B, переводящую окружность S в окружность S' с диаметром BH. Если при этом точка A переходит в точку A', а точка C – в С', то точки A' и C' лежат на прямых BA и BC соответственно, касательная AC к окружности S переходит в касательную A'C' к окружности S' , медиана BN треугольника ABC – в медиану BN' треугольника A'BC'.

  Поскольку  HE'AB,  то CE' – высота треугольника ABC. Значит,  ∠ABK = ∠ACE',  а так как E'N – медиана прямоугольного треугольника AE'C, проведённая из вершины прямого угла, то  ∠ NE'C = ∠NCE' = ∠ACE' = ∠ABK = ∠E'BH.
  Пусть O – центр окружности S'. Тогда  ∠OE'N = ∠OE'H + ∠NE'C = (90° – ∠OE'B) + ∠E'BH = (90° – ∠E'BH) + ∠E'BH = 90°.
  Следовательно, NE' – касательная к окружности S'. Аналогично, NF' – касательная к S'. Таким образом, касательные, проведённые к окружности S' в точках E' и F' пересекаются на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B. Следовательно, касательные к гомотетичной S' окружности S, проведённые в соответствующих точках E и F, также пересекаются на этой прямой.


Решение 2

Автор: Шамаев Н.

  Заметим, что  ∠BEF = ∠BKF = ∠C  (стороны последних двух углов взаимно перпендикулярны). Значит, треугольник FBE получается из треугольника ABC симметрией относительно биссектрисы угла B с последующей гомотетией с центром в точке B. Следовательно, медиана BN треугольника ABC совпадает с симедианой треугольника FBE. Но согласно задаче 56983 эта симедиана проходит через указанную в условии точку пересечения касательных.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6538
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 95.4.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .