Задача 108211
|
|
 |
Условие
Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M, а внутри треугольника AMD точка N, причём ∠MNA + ∠ MCB = ∠MND + ∠MBC = 180°.
Докажите, что прямые MN и AB параллельны.
Подсказка
Рассмотрите параллелограмм ABMM'.
Решение
Обозначим ∠MNA = α, ∠MND = β. Построим параллелограмм ABMM'. Тогда CDM'M – тоже параллелограмм.
Четырёхугольник ANDM' вписанный, поскольку
∠AM'D = ∠BMC = 180° – (180° – α) – (180° – β) = 180° – ∠AND. Поэтому
∠M'ND = ∠M'AD = ∠MBC = 180° – β. Значит, ∠MND + ∠M'ND = β + (180° – β) = 180°. Следовательно, точки M, N и M' лежат на одной прямой, а так как MM' || AB, то MN || AB.
