ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108211
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M, а внутри треугольника AMD точка N, причём  ∠MNA + ∠ MCB = ∠MND + ∠MBC = 180°.
Докажите, что прямые MN и AB параллельны.


Подсказка

Рассмотрите параллелограмм ABMM'.


Решение

  Обозначим  ∠MNA = α,  ∠MND = β.  Построим параллелограмм ABMM'. Тогда CDM'M – тоже параллелограмм.

  Четырёхугольник ANDM' вписанный, поскольку  ∠AM'D = ∠BMC = 180° – (180° – α) – (180° – β) = 180° – ∠AND.  Поэтому
M'ND = ∠M'AD = ∠MBC = 180° – β.  Значит,  ∠MND + ∠M'ND = β + (180° – β) = 180°.  Следовательно, точки M, N и M' лежат на одной прямой, а так как  MM' || AB,  то  MN || AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6558
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 04.4.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .