|
|
 |
Условие
Три окружности ω1, ω2 и ω3 радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним образом окружности ω радиуса R (R > r) в точках T1, T2 и T3 соответственно. Докажите, что прямая T1T2 проходит через вторую (отличную от S) точку пересечения окружностей ω1 и ω2.
Решение
Обозначим через O1, O2, O3 и O центры окружностей ω1, ω2, ω3 и ω соответственно. Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, то точки O, O1 и T1 лежат на одной прямой, причём OO1 = OT1 – O1T1 = R – r.
Аналогично OO2 = OO3 = R – r, поэтому O – центр описанной окружности треугольника O1O2O3. Поскольку SO1 = SO2 = SO3 = r, точка S также является центром описанной окружности треугольника O1O2O3. Следовательно, точки S и O совпадают.
Пусть M – точка пересечения ω1 и ω2. Поскольку T1O – диаметр ω1, ∠OMT1 = 90°. Аналогично, ∠OMT2 = 90°. Следовательно, точка M лежит на прямой T1T2.
