ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108227
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Подобные фигуры ]
[ Удвоение медианы ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда  OA·OC = OB·OD.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть точка O совпадает с точкой пересечения средних линий данного четырёхугольника. Обозначим через X и Y середины сторон AB и CD соответственно (рис. слева). Поскольку середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а средние линии четырёхугольника – диагоналями этого параллелограмма, то O – середина XY.

  Предположим, что прямые AB и CD пересекаются в точке P (пусть, для определённости, точка P лежит на лучах AB и DC). Поскольку PO – биссектриса и медиана треугольника XPY, то этот треугольник равнобедренный.
  Обозначим  ∠XPY = 2α,  ∠BOX = β.  Тогда  ∠PXY = ∠PYX = 90° – α,  а так как  BOC – угол между биссектрисами внешних углов треугольника BPC, то
BOC = 90° – α,  ∠COY = 180° – β – (90° – α) = 90° – β + α,  ∠OCY = 180° – (90° – β + α) – (90° – α) = β = ∠BOX.
  Значит, треугольники OXB и CYO подобны по двум углам. Следовательно,  OB : OC = XO : YO.  Аналогично  OA : OD = XA : YO = XB : YO = OB : OC,  откуда  OA·OC = OB·OD.

  Пусть теперь  OA·OC = OB·OD  (рис. справа). Заметим, что
AOB + ∠COD = (180° – ∠OABOBA) + (180° – ∠OCD – ∠ODC) = 360° – ½ (∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA) = 180°.
  Поэтому, если достроить треугольники OAB и OCD до параллелограммов AOBK и OCLD, то эти параллелограммы будут подобны (так как
OA : AK = OA : OB = DO : OC).  Поэтому треугольники OXB и CYO также будут подобны. Значит,  ∠XOB = ∠OCY = ∠OCB,  ∠COY = ∠XBO = ∠OBC.
  Следовательно,  ∠XOB + ∠BOC + ∠COY = ∠OCB + ∠BOC + ∠OBC = 180°,  то есть точка O лежит на прямой XY. Аналогично она лежит на прямой, соединяющей середины двух других сторон четырёхугольника, что и требовалось.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6574
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 05.5.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .