ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108242
Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дана окружность ω, точка A, лежащая внутри ω, и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные хорды XY, проходящие через точку A. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BXY лежат на одной прямой.


Решение

Произведение AX·AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d. На продолжении отрезка AB за точку A выберем такую точку C, что  AC = d/AB.  Тогда  AB·AC = d = AX·AY.  Значит, точки X, B, Y и C лежат на одной окружности, то есть описанная окружность треугольников BXY проходят через фиксированные точки B и C. Следовательно, её центр лежит на серединном перпендикуляре к фиксированному отрезку BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6589
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 99.4.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .