ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108501
Темы:    [ Подобные фигуры ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции с основаниями 1 и 4 расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Найдите площадь трапеции.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Отрезок общей касательной данных окружностей, проведённой через их точку касания, разбивает данную трапецию на две подобных. Поэтому квадрат длины этого отрезка равен произведению оснований данной трапеции.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания K, пересекает боковые стороны AB и CD трапеции ABCD в точках Q и P соответственно; окружность с центром O1 радиуса r, вписанная в равнобедренную трапецию QBCP, касается её сторон BC = 1 и CP соответственно в точках M и E, а окружность с центром O2 радиуса R, вписанная в равнобедренную трапецию AQPD, касается её сторон AD = 4 и DP соответственно в точках N и F. Тогда

CE = CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$DF = DN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD = 2.

Трапеции QBCP и AQPD гомотетичны относительно точки пересечения прямых AB и CD с коэффициентом, равным отношению радиусов вписанных в них окружностей. Значит, эти трапеции подобны. Поэтому BC : QP = QP : AD. Отсюда находим, что

QP = $\displaystyle \sqrt{BC\cdot AD}$ = $\displaystyle \sqrt{1\cdot 4}$ = 2.

Поэтому

PK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$QP = 1, EP = PK = PF = 1.

Поскольку СO1 и PO1 — биссектрисы углов BCP и CPQ, сумма которых равна 180o, то $ \angle$CO1P = 90o. Из прямоугольного треугольника CO1P находим, что

r = O1E = $\displaystyle \sqrt{CE\cdot EP}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}\cdot 1}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Аналогично находим, что

R = O2F = $\displaystyle \sqrt{DF\cdot FP}$ = $\displaystyle \sqrt{2\cdot 1}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$.

Следовательно,

SABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AD + BC)MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(1 + 4)(2r + 2R) = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ . 3$\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{2}}{2}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

$ {\frac{15}{\sqrt{2}}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3986

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .