ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108550
Темы:    [ Метод координат на плоскости ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).


Решение

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-2);7-1)} $ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$$\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-9);7-3)} $ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8;4)}$,

то

$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ . $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = 3 . (- 8) + 6 . 4 = 0.

Поэтому AC $ \perp$ BC, т.е. треугольник ABC — прямоугольный. Значит, центр его описанной окружности совпадает с серединой M(x0;y0) гипотенузы AB, а радиус R этой окружности равен половине отрезка AB.

Поскольку

x0 = $\displaystyle {\frac{-2+9}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$y0 = $\displaystyle {\frac{1+3}{2}}$ = 2, и

R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{(9-(-2))^{2}+(3-1)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \sqrt{121+4}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{125}}{2}}$,

то искомое уравнение имеет вид

$\displaystyle \left(\vphantom{x-\frac{7}{2}}\right.$x - $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x-\frac{7}{2}}\right)^{2}_{}$ + (y - 2)2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{125}{4}}$.


Ответ

(x - $ {\frac{7}{2}}$)2 + (y - 2)2 = $ {\frac{125}{4}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4241

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .