ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108562
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т.е.

c2 = a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \gamma$,

где a, b, c — стороны треугольника, $ \gamma$ — угол, противолежащий стороне, равной c.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим AB = c, AC = b, BC = a, $ \angle$ACB = $ \gamma$.

Первый способ.

Пусть AD — высота треугольника.

Рассмотрим случай, когда точка D лежит между точками B и C (рис.1). Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим, что

AD = AC sin$\displaystyle \gamma$ = b sin$\displaystyle \gamma$CD = AC cos$\displaystyle \gamma$ = b cos$\displaystyle \gamma$BD = BC - CD = a - b cos$\displaystyle \gamma$,

c2 = AB2 = AD2 + BD2 = (b sin$\displaystyle \gamma$)2 + (a - b cos$\displaystyle \gamma$)2 =

= a2 + b2(sin2$\displaystyle \gamma$ + cos2$\displaystyle \gamma$) - 2ab cos$\displaystyle \gamma$ = a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \gamma$.

Если точка D лежит на продолжении отрезка BC за точку C (рис.2), то

AD = AC sin$\displaystyle \angle$ACD = AC sin(180o - $\displaystyle \gamma$) = b sin$\displaystyle \gamma$,

CD = AC cos(180o - $\displaystyle \gamma$) = - b cos$\displaystyle \gamma$BD = BC + CD = a - b cos$\displaystyle \gamma$,

c2 = AB2 = AD2 + BD2 = (b sin$\displaystyle \gamma$)2 + (a - b cos$\displaystyle \gamma$)2 =

= a2 + b2(sin2$\displaystyle \gamma$ + cos2$\displaystyle \gamma$) - 2ab cos$\displaystyle \gamma$ = a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \gamma$.

Если точка D лежит на продолжении отрезка BC за точку B (рис.3), то

AD = AC sin$\displaystyle \gamma$ = b sin$\displaystyle \gamma$CD = AC cos$\displaystyle \gamma$ = b cos$\displaystyle \gamma$BD = CD - BC = b cos$\displaystyle \gamma$ - a,

c2 = AB2 = AD2 + BD2 = (b sin$\displaystyle \gamma$)2 + (b cos$\displaystyle \gamma$ - a)2 =

= a2 + b2(sin2$\displaystyle \gamma$ + cos2$\displaystyle \gamma$) - 2ab cos$\displaystyle \gamma$ = a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \gamma$.

Наконец, если точка D совпадает с точкой C или B, то утверждение очевидно.

Второй способ.

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$,

то

$\displaystyle \overrightarrow{AB}^{2}_{}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AC}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}^{2}_{}$ + 2$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ . $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ =

= AC2 + CB2 + 2AC . CB cos(180o - $\displaystyle \angle$ACB) = a2 + b2 + 2ab cos(180o - $\displaystyle \gamma$) =

= a2 + b2 - 2ab cos$\displaystyle \gamma$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4253

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .