ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108588
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки до всех вершин выпуклого четырёхугольника площади 1, не может быть меньше 2 .
Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Воспользуйтесь неравенством треугольника и формулой площади четырёхугольника через диагонали у углу между ними.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть произвольная точка O удалена от вершин A , B , C и D четырёхугольника на расстояния a , b , c и d соответственно, а диагонали AC и BD равны соответственно x и y . Поскольку

a+c = OA+OC AC = x, b+d = OB + OD BD = y,

то
a+b+c+d = (a+c)+(b+d) x+y 2.

Пусть S – площадь четырёхугольника, а ϕ – угол между его диагоналями. Тогда
S = xy sin ϕ xy.

Поэтому xy 2S . Следовательно,
a+b+c+d x+y 2 2 = 2.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4264

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .