ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108589
Темы:    [ Неравенства для площади треугольника ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для произвольного треугольника справедливо неравенство R· P 4S , где R – радиус окружности, описанной около треугольника, P и S – периметр и площадь треугольника.
Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Через вершины треугольника проведите прямые, параллельные его противолещащим сторонам.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Через вершины треугольника ABC проведём прямые, параллельные его противолежащим сторонам. Получим треугольник A'B'C' , для которого стороны треугольника ABC являются средними линиями ( AB || A'B' , BC || B'C' , AC || A'C' ). Тогда

SΔ A'B'C' = 4· SΔ ABC = 4S, A'B'= 2AB, B'C'=2BC, A'C' =2AC.

Соединим центр O описанной окружности треугольника ABC с вершинами треугольника A'B'C' . В каждом из треугольников A'OB' , B'OC' и A'OC' высоты, проведённые из вершины O не больше, чем OC , OA и OB соответственно. Следовательно,
4S = SΔ A'B'C'= SΔ A'OB'+SΔ B'OC'+SΔ A'OC'


A'B'· OC + B'C'· OA +A'C'· OB =


= (2AB· R + 2BC· R + 2AC· R) = R· P.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4265

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .