ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108594
Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки M до вершин треугольника минимальна, если M – точка пересечения медиан треугольника.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан AA1 , BB1 и CC1 треугольника ABC , X – произвольная точка. Тогда



XA2+XB2+XC2 = 2+2+2=


=2+ 2· · + 2+ 2+ 2· · + 2+ 2+ 2· · + 2=


=3· XM2+MA2+MB2+MC2+2· · (++)=


=3· XM2+MA2+MB2+MC2+2· · (-· -· -· )=


=3· XM2+MA2+MB2+MC2-· 2· · (++)=


=3· XM2+MA2+MB2+MC2-· · = 3· XM2+MA2+MB2+MC2 MA2+MB2+MC2,

причём равенство достигается, если точка X совпадает с точкой M пересечения медиан треугольника ABC .


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4270

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .