ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108598
Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим объединение двух данных треугольников. Оно состоит из шестиугольника пересечения H и шести подобных между собой треугольников (см. рис.; один из углов каждого такого треугольника равен 60°, а два других – α и  120° – α).  Если a – сторона такого треугольника, лежащая против угла в 60° (она также является стороной шестиугольника H), а Pa – периметр этого треугольника, то отношение  k = a/Pa  одно и то же для каждого из шести таких треугольников и не меняется при параллельном переносе. Периметр шестиугольника H равен сумме периметров шести подобных треугольников, умноженной на k. Осталось заметить, что сумма периметров шести подобных треугольников равна сумме периметров двух исходных правильных треугольников.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4274
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .