ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108622
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

AL – биссектриса треугольника ABC , K – точка на стороне AC , причём CK=CL . Прямая LK и биссектриса угла B пересекаются в точке P . Докажите, что AP=PL .

Решение

Пусть углы треугольника ABC равны 2α , 2β , 2γ соответственно. Тогда α +β+γ = 90o . Из равнобедренного треугольника KCL находим, что

CLK = 90o - γ.

По теореме о внешнем угле треугольника
ALC = BAL + ABL = α + 2β.

Поэтому
ALP = ALC - CLK = (α+2β) - (90o)= (α + β + γ - 90o) + β = β.

Таким образом, из точек L и B , лежащих по одну сторону от прямой AP , отрезок AP виден под одним и тем же углом β , значит, точки L , B , A и P лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность равные углы ABP и LBP опираются на равные хорды, следовательно, AP=PL .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4438

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .