Задача 108628

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри неравнобедренного треугольника ABC взята такая точка O , что OBC = OCB = 20^o . Кроме того BAO + OCA = 70^o . Найдите угол A .

Решение

Через точку C проведём прямую, перпендикулярную AC . Пусть эта прямая пересекается с продолжением отрезка AO в точке E . Тогда

BCE = 90^o - BCO - OCA =

=90^o-20^o - OCA = 70^o- OCA = BAO = BAE.
Это означает, что из точек A и C , лежащих по одну сторону от прямой BE , отрезок BE виден под одним и тем же углом, поэтому четырёхугольник ABEC вписан в окружность, а т.к. ACE = 90^o , то AE – диаметр этой окружности. Из условия задачи следует, что точка O , лежащая на диаметре окружности, равноудалена от концов хорды BC , поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к BC , а т.к. треугольник ABC неравенобедренный, то O – центр окружности. Значит, OA=OC . Следовательно,
BAC = BAO + OAC = BAO + OCA = 70^o.

Ответ

70^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4444