ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108630
Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь четырёхугольника со сторонами a , b , c и d не превосходит ((a+c)2+bd) .

Решение

Известно, что если P – периметр четырёхугольника, то его максимальная площадь равна (площадь квадрата со стороной ), поэтому максимальная площадь четырёхугольника с фиксированными длинами сторон не зависит от порядка сторон. Кроме того, известно, что площадь четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон. Пусть ABCD – четырёхугольник со сторонами AB=a , BC=d , CD=c и AD = b . Пусть также M и N – середины сторон BC и AD соответственно, и MN=l . Тогда

SABMN (al+), SCDNM (cl+).

Сложив почленно эти неравенства получим, что
SABCD + .

Из векторного равенства = (+) следует неравенство l (a+c) , поэтому
SABCD + ((a+c)2+bd),

что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4446

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .