ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108637
Темы:    [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка O, причём  ∠OAD = ∠OCD.  Докажите, что  ∠OBC = ∠ODC.


Решение

  Первый способ. Пусть при параллельном переносе на вектор     точка O перешла в точку E (рис. слева). Тогда AOED – параллелограмм, поэтому  ∠OED = ∠OAD = ∠OCD.
  Значит, точки C, E, O и D лежат на одной окружности. Вписанные углы ODC и OEC равны, а так как BOEC – параллелограмм, то  ∠OEC = ∠OBC.  Следовательно,  ∠OBC = ∠ODC.

           

  Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку O параллельно сторонам AD и BC, пересекает стороны AB и CD соответственно в точках K и M (рис. справа), а прямая, проведённая через точку O параллельно сторонам AB и CD, пересекает стороны BC и AD соответственно в точках L и N. Тогда  ∠CMO = ∠CDA = ∠ONA,  значит, треугольники OAN и OCM подобны по двум углам. Поэтому  AN : CM = ON : OM.  Поскольку  ∠OLB = ∠OND  и при этом  BL : LO = AN : CM = ON : OM = DM : OM,  то треугольники OBL и ODM подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
LBO = ∠ODM, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4453
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 15
Название Параллельный перенос
Тема Параллельный перенос
параграф
Номер 1
Название Перенос помогает решить задачу
Тема Перенос помогает решить задачу
задача
Номер 15.003B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .