Задача 108653

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC отложены равные отрезки AE и CF соответственно. Окружность, проходящая через точки B, C, E , и окружность, проходящая через точки A, B, F , пересекаются в точках B и D. Докажите, что BD – биссектриса угла ABC.

Решение

  Четырёхугольник BCDE – вписанный, поэтому  ∠FCD = ∠BCD = ∠AED.
  Аналогично ∠DAE = ∠CFD.  Значит, треугольники CFD и EAD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Высоты DP и DQ этих треугольников, проведённые из соответствующих вершин, равны, поэтому точка D равноудалена от сторон BA и BC угла ABC. Следовательно, BD – биссектриса этого угла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4469