Задача 108655

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает прямые BC и CD в точках X и Y . Точка A' симметрична точке A относительно прямой BD . Докажите, что точки C , X , Y и A' лежат на одной окружности.

Решение

Поскольку

AXB = XAD = XAB,
треугольник ABX — равнобедренный, BX = AB . Аналогично, треугольник ADY — также равнобедренный, DY=AD .
Точка A' симметрична точке A относительно прямой BD , поэтому
DA'=DA = DY, BA'=BA=BX.
Значит, точки A , Y и A' лежат на окружности с центром D , а точки A , X и A' — на окружности с центром B .
Пусть AB>BC . Тогда точка Y расположена между точками A и X , точки A' и D лежат по одну сторону от прямой AX , а B и C — по другую.
Обозначим, ADC = ABC = α . Поскольку угол AA'Y вписан в окружность с центром D , а ADY — соответствующий ему центральный угол этой окружности, то AA'Y = . Поскольку угол AA'X вписан в окружность с центром B , то
AA'X = (360^o - α) = 180^o- .
Тогда
XA'Y = A'AX - AA'Y = (180^o-) - = 180^o-α,
а т.к. XCY = ABC = α , то четырёхугольник A'XCY — вписанный.
Случай AB<BC сводится к рассмотренному переобозначением вершин B и D .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4481