Задача 108664

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки K и L на сторонах соответственно AB и AC остроугольного треугольника ABC таковы, что KL || BC ; M – точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках K и L к отрезкам AB и AC . Докажите, что точки A , M и центр O описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.

Решение

Пусть D и E – середины сторон AB и AC соответственно (рис.1). Заметим, что DE || BC || KL , DO – серединный перпендикуляр к отрезку AB . Значит, DO || KM . Аналогично, OE || LM . Тогда гомотетия с центром в точке A , переводящая точку E в точку L , переводит D в K , а O в M . Следовательно, точки A , O и M лежат на одной прямой.

Обозначим ABC = β (рис.2). Тогда центральный угол AOC описанной окружности треугольника ABC вдвое больше вписанного угла ABC , т.е. равен 2β . Из равнобедренного треугольника AOC находим, что CAO = 90^o-β . Из точек K и L отрезок AM виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром AM . Вписанные в эту окружность углы AML и AKL опираются на одну и ту же дугу, поэтому

AML = AKL = ABC = β
( KL || BC ). Из прямоугольного треугольника AML находим, что
LAM = 90^o - AML = 90^o-β = CAO.
Следовательно, точки A , O и M лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4490