ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108671
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На отрезке AC как на основании в разных полуплоскостях построены равнобедренные треугольники ABC и ADC , причём ADC = 3 ACB . AE – биссектриса треугольника ABC , отрезки DE и AC пересекаются в точке F . Докажите, что треугольник CEF – равнобедренный.

Решение

Положим ACB = CAB = 2α . Тогда

ADC = 6α, CAE = α, AEC = 180o- CAE - ACE = 180o - 3α.

Заметим, что α < 30o , т.к. ADC = 6α < 180o . Пусть O – центр описанной окружности треугольника AEC . Угол AEC – тупой, поскольку
AEC = 180o-3α > 180o - 3· 30o = 90o.

Значит, точки O и E лежат по разные стороны от прямой AC . Тогда
AOC = 360o- 2 AEC = 360o - 2(180o-3α)= 6α.

Поскольку AOC – равнобедренный треугольник с основанием AC и углом 6α при вершине, он совпадает с треугольником ADC . Таким образом, D – центр описанной окружности треугольника AEC . В частности, DE=DC . Значит,
DEC = DCE= ACE + DCA = 2α + (180o - 6α) = 90o-α,


EFC = 180o - FCE - FEC = 180o - 2α - (90o) = 90o-α.

Следовательно, треугольник CEF – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4497

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .