ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108672
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, проходящая через вершины A и C треугольника ABC, пересекает сторону AB в её середине D, а сторону BC – в точке E. Окружность, проходящая через точку E и касающаяся в точке C прямой AC, пересекает прямую DE в точке F. K – точка пересечения прямых AC и DE.
Докажите, что прямые CF, AE и BK пересекаются в одной точке.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой  ∠CFE = ∠ACE, а так как четырёхугольник ADEC – вписанный, то  ∠BDE = ∠ACE = ∠CFE.  Значит,
CF || AB.  Пусть G – точка пересечения прямых CF и BK. Поскольку DK – медиана треугольника ABK и  CG || AB,  то  FG = CF.  Пусть G1 – точка пересечения AE и CF. Аналогично FG1 = CF.  Значит, точки G и G1 совпадают.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4498

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .