ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108695
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике, описанном около окружности, произведения противоположных сторон равны. Угол между стороной и одной из диагоналей равен 20o . Найдите угол между этой стороной и другой диагональю.

Решение

Пусть ABCD – данный четырёхугольник, BAC = 20o . Обозначим AB=a , BC=b , CD=c , AD= d . Из условия задачи следует, что ac=bd и a+c=b+d (свойство описанного четырёхугольника). Тогда по теореме, обратной теореме Виета, либо a=b и c=d , либо a=d и c=b . Предположим, что a=b и c=d , т.е. AB=BC и CD = AD . Тогда точки B и D равноудалены от концов отрезка AC . Значит, BD – серединный перпендикуляр к диагонали AC . Следовательно,

ABD = 90o - BAC = 90o-20o = 70o.

Аналогично для случая a=d и c=b .


Ответ

70o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6231

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .