Условие
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна
a .
Боковая грань образует с плоскостью основания угол
45
o .
Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
Решение
Пусть
ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с
вершиной
P ,
AB = BC = CD = AD = a ,
M – центр квадрата
ABCD ,
K и
N – середины отрезков
AB и
CD соответственно.
Поскольку
PK 
AB и
MK AB , угол
PKM – линейный угол
двугранного угла между плоскостью боковой грани
ABP и плоскостью
основания пирамиды. По условию
PKM = 45
o .
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью
PKN . Получим
равнобедренный прямоугольный треугольник
PKN и вписанную в него
окружность с центром на высоте
PM . Радиус
r этой окружности равен
радиусу сферы, вписанной в пирамиду. Следовательно,
r = 
(PK + PN - KN) = (
+ - a)
= 
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7018 |
