Задача 108783

Темы:    [ Векторы (прочее) ] [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды пирамиды равны a . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Решение

Пусть ABCDEFP – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P ; AB = BC = CD = DE = EF = AF = a ; M – центр правильного шестиугольника ABCDEF , K – середина AB , L – середина DE . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Кроме того, PK AB и MK AB . Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания – это угол PKM , а т.к. MK – высота равностороннего треугольника ABM со стороной a , то MK = . Из прямоугольного треугольника PKM находим, что

tg β = tg PKM = = = .
Центр O сферы, вписанной в правильную пирамиду ABCDEFP лежит на её высоте PM , а т.к. эта сфера вписана в двугранный угол между плоскостями граней ABP и ABCDEF , то точка O лежит в биссекторной плоскости этого угла. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью PKL . Получим треугольник PKM и вписанную в него окружность, касающуюся стороны KL в точке M . Радиус r этой окружности равен радиусу сферы, вписанной в пирамиду, центр O лежит на высоте PM , а OKM = . Из прямоугольного треугольника OMK находим, что
r = OM = KM tg = · tg .
Поскольку tg β = , имеем уравнение
= ,
из которого находим, что
tg = .
Следовательно,
r = · tg = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7026