ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108882
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
[ Точка Торричелли ]
[ Треугольники с углами 60° и 120° ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Внутри треугольника нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 120°. На луче CO выбрана такая точка D, что треугольник AOD – равносторонний. Серединный перпендикуляр к отрезку AO пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямая OQ делит отрезок BD пополам.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Заметим, что ∠BAO = 60° – ∠OAC = ∠OCA,  ∠ABO = 60° – ∠BAO = ∠OAC.  Поэтому треугольники AOB и COA подобны по двум углам. Следовательно,
AO : CO = BO : AO.
  Точка D лежит на серединном перпендикуляре отрезку AO. Продолжим отрезок BO до пересечения с прямой DQ в точке E. Тогда  EO = EA,  а так как  ∠AOE = 60°,  то треугольник AOE – равносторонний. Поэтому  OE = OA = OD.  Значит,  EO : CO = BO : DO.  Отсюда следует, что треугольники DOB и COE подобны. Согласно замечательному свойству трапеции прямая OQ проходит через середину отрезка BD.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4471

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .