ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108914
Темы:    [ Построения одной линейкой ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. С помощью одной линейки разделите этот отрезок на три равные части.


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

  Пусть l1 и l2 – данные параллельные прямые, отрезок AB лежит на прямой l1. Отметим точку M в той полуплоскости относительно прямой l2, которая не содержит точек A и B. Тогда отрезки MA и MB пересекают прямую l2 в некоторых точках C и D соответственно. Через точку N пересечения отрезков AD и BC проведём прямую MN. Эта прямая пересекает l1 и l2 соответственно в серединах F и E – серединах оснований AB и CD трапеции ACDB. Через точку P пересечения прямых AE и BC проведём прямую, параллельную прямым l1 и l2 (см. задачу 53776). Пусть проведённая прямая пересекает отрезки AC, AD и BD в точках G, Q и L соответственно. Поскольку AE – медиана треугольника ACD и GQ || CD, точка P – середина GQ. Поскольку AD и BC – диагонали трапеции ACDB, отрезки GP и QL равны. Значит,  GP = PQ = QL. Проведём прямые MP и MQ. Пусть X и Y – точки их пересечения с прямой l1. Тогда
AX = XY = YB.


Решение 2

  Покажем, как разделить такой отрезок на k равных частей. Мы знаем, как с помощью одной линейки разделить пополам отрезок, лежащий на одной из двух данных параллельных прямых (см. задачу 53775). Тогда для каждого натурального n можно разделить такой отрезок на 2n равных частей.
  Пусть l1 и l2 – данные параллельные прямые, отрезок AB лежит на прямой l1. Разделим произвольный отрезок CT, лежащий на прямой l2 на 2n равных частей, где  2n > k.  Пусть D – правый конец k-го из получившихся отрезков, считая от точки C. Тогда отрезок CD прямой l2 разделён на k равных отрезков.
  Если прямые AC и BD пересекаются в точке H, то прямые, проходящие через эту точку и концы полученных отрезков, делят отрезок AB на k равных частей.
  Если  AC || BD,  то через полученные точки деления, проведём прямые, параллельные AC и BD.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6265

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .