Задача 108934

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Серединный перпендикуляр к стороне BC треугольника ABC пересекает сторону AB в точке D , а продолжение стороны AC за точку A – в точке E . Докажите, что AD.

Решение

Поскольку точка D лежит на серединном пепрендикуляре к отрезку BC , треугольник BCD – равнобедренный. Поэтому DCB = DBC . Обозначим ADE = α , AED = β . Пусть H – середина BC Тогда

DCB = DBC = 90^o- BDH = 90^o-α,

ACD = 90^o- CEH = 90^o-β.
Поскольку луч CD пересекает отрезок AB , концы которого лежат на сторонах угла ACB , этот луч проходит между сторонами угла ACB . Значит,
90^o-α = DCB < ACB = 90^o-β α > β.
Таким образом, в треугольнике ADE сторона AD , лежащая против угла AED , равного β , меньше стороны AE , лежащей против угла ADE , равного α . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6285