ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108968
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что если окружность касается трёх сторон выпуклого четырёхугольника и не пересекает четвёртой, то сумма четвёртой и противоположной ей стороны меньше суммы остальных сторон четырёхугольника.

Решение

Проведем из точки C касательную к окружности (рис.). Получили описанный четырехугольник. Суммы противоположных сторон его равны: BC+AE=AB+CE . Сумма противоположных сторон четырехугольника

BC+AD=BC+AE+ED=(BC+AE)+ED.

Подставим значение BC+AE из первого равенства:
BC+AD=(AB+CE)+ED=AB+(CE+ED).

Из треугольника ECD : CE+ED>CD , поэтому AB+(CE+ED)>AB+CD . Таким образом, BC+AD>AB+CD .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1961
Номер 11
Название 11-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 7.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .