ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108988
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что из равенства     вытекает равенство     если k нечётно.


Решение

  Запишем данное равенство в виде  (a + b + c)(bc + ac + ab) = abc.  Отсюда
     0 = (a + b + c)(bc + ac + ab) – abc = (a + b + c)c(a + b) + (a + b)ab = (a + b)(ac + bc + c² + ab) = (a + b)(a + c)(b + c).
  Поэтому по крайней мере одна из скобок равна нулю. Пусть, например,  a = –b.  Тогда при нечётном k  ak = – bk,  и доказываемое равенство принимает вид очевидного тождества.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1962
Номер 12
Название 12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .