ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109002
Темы:    [ Треугольник (построения) ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы все вершины прямоугольника лежали на сторонах треугольника.


Решение

  Рассмотрим сначала случай, когда одна вершина прямоугольника совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Тогда треугольники ADE и ACB подобны. Обозначим  AC = b,  BC = a,  CD = EF = b1DE = CF = a1. Из подобия треугольников получаем  DA : AC = ED : BC  или  b–b1/b = a1/a,  откуда
b1 = (a–a1)b/a.  Площадь прямоугольника равна  a1b1 = (a–a1)a1b/a.  Отбросив постоянный множитель b/a, исследуем выражение  (a – a1)a1.  Оно принимает максимальное значение при  a1 = a/2.  Площадь соответствующего прямоугольника равна ab/4. Отсюда видно, что и вторая сторона прямоугольника равна половине соответствующего катета.
  Случай, когда когда одна из сторон прямоугольника лежит на гипотенузе AB, сводится к предыдущему. Действительно, высота CD разбивает прямоугольник на два прямоугольника, каждый из которых вписан в соответствующий прямоугольный треугольник так, как было рассмотрено выше. По доказанному площадь прямоугольника не будет превосходить  ½ SABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1963
Номер 13
Название 13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .