ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109029
Темы:    [ Системы точек ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

k точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

Решение

Из данных k точек выбираем 3 такие, что треугольник с вершинами в данных точках имеет наибольшую площадь из всех треугольников с вершинами в данных k точках. Пусть это будут точки A,B,C (рис.). Проведём через точку B прямую LN||AC . Каждая из k точек будет лежать по ту же сторону от прямой LN , что и треугольник ABC , ибо иначе площадь треугольника с вершиной в этой точке и основанием AC была бы больше площади треугольника ABC . Проведя через точку A прямую LM||BC и через точку C прямую MN||AB , точно так же докажем, что все k точек лежат по ту же сторону от прямых LM и MN , что и точки A,B,C . Следовательно, все k точек будут лежать внутри треугольника LMN . Площадь этого треугольника состоит из площадей четырёх равных треугольников. Поскольку площадь одного из них не превосходит единицы, то площадь всего треугольника LNM не превосходит четырёх.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1966
Название 16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Номер 16
Задача
Название Задача 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .