ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109038
Тема:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решить систему уравнений

    1 − x1x2x3 = 0,
    1 + x2x3x4 = 0,
    1 − x3x4x5 = 0,
    1 + x4x5x6 = 0,
      ...
    1 − x47x48x49 = 0,
    1 + x48x49x50 = 0,
    1 − x49x50x1 = 0,
    1 + x50x1x2 = 0.


Решение

  Ясно, что ни одно из неизвестных не равно нулю. Вычитая из первого уравнения второе, получим  x2x3(x1 + x4) = 0,  то есть  x1 = – x4.  Аналогично
x2 = – x5x3 = – x6,  ...,  x47 = – x50x48 = – x1x49 = – x2x50 = – x3.  Отсюда видно, что  x1 = x7x2 = x8,  ...,  x50 = x6.  Продолжая, получим
x1 = x3 = x5 = ... = x49 = – x2 = – x4 = ... = – x50.  Подставив эти формулы, например, в первое уравнение, получим  


Ответ

(–1, 1, –1, 1, ..., –1, 1).

Замечания

Ср. с задачей 77961.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Номер 17
Название 17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1967
Задача
Название Задача 8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .