Задача 109055

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Точки M , N и K принадлежат соответственно ребрам AD , AB и BC тетраэдра ABCD , причём AM:MD = 2:3 , BN:AN = 1:2 , BK = KC . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M , N , K . В каком отношении эта плоскость делит ребро CD ?

Решение

Пусть продолжение отрезка MN пересекает прямую DB в точке F . Тогда точки F и K лежат в плоскости грани BCD , поэтому прямая FK лежит в плоскости грани BCD . Если P – точка пересечения этой прямой с ребром CD , то четырёхугольник MNKP – искомое сечение. Обозначим BD = a , BF = x . Через вершину A проведём прямую, параллельную BD , и продолжим MN до пересечения с этой прямой в точке Q . Треугольник ANQ подобен треугольнику BNF с коэффициентом 2, а треугольник AMQ – треугольнику DMF с коэффициентом = . Поэтому

AQ = 2BF = 2x, AQ = DF = (a+x).
Из уравнения 2x = (a + x) находим, что BF = . Через вершину C проведём прямую, параллельную BD , и продолжим KP до пересечения с этой прямой в точке T . Треугольник CKT равен треугольнику BKF , а треугольник CPT подобен треугольнику DPF , поэтому
CT = BF = , = = = .

Ответ

3:1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8020